ПСКОВСКИЙ ВОЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ

ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

«ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ»

для студентов, обучающихся по специальности

«Прикладная математика и информатика»

Составил преподаватель кафедры Прикладной математики и информатики

Трофимов В.М.

ПСКОВ

2004

СОДЕРЖАНИЕ

Введение.............................................................................................................................................. 3

1. Работа 1. Решение нелинейных уравнений.............................................................................. 4

2. Работа 2. Отделение и уточнение корней нелинейных уравнений..................................... 10

3. Работа 3. Интерполирование сеточных функций полиномами............................................ 13

4. Работа 4. Вычисление определенных интегралов с заданным шагом

интегрирования...................................................................................................... 17

5. Работа 5. Вычисление определенных интегралов с заданной точностью........................... 21

6. Работа 6. Шаговые методы интегрирования дифференциальных уравнений

первого порядка....................................................................................................... 23

7. Работа 7. Интегрирование дифференциального уравнения разностным методом

Адамса..................................................................................................................... 26

8. Работа 8. Решение систем линейных алгебраических уравнений........................................ 28

- ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1.

Решение нелинейных уравнений.

Нелинейным уравнением с одним неизвестным называется уравнение вида:

f(x)=0 (1)

где f(x) - непрерывная, дифференцируемая функция, определенная на некотором бесконечном или конечном интервале a<x<b.

Корнем уравнения (1) называется такое значение x, равное x, которое обращает уравнение в тождество:

f(x)=0

Найти корни уравнения (1) точно удается лишь в частных случаях. Кроме того, часто уравнения содержат коэффициенты, известные лишь приблизительно, и следовательно, сама задача о точном определении корней уравнения теряет смысл. Поэтому разработаны методы численного решения уравнения вида (1), которые позволяют отыскать приближенные значения корней этого уравнения.

При численном решении уравнения (нахождение корней) в общем случае необходимо проделать три процедуры:

а) установить количество корней и область значений аргумента которой принадлежат эти корни;

б) выделить участки изолированности корней, т.е. такие участки, внутри которых расположен только один корень;

в) сузить изолированный участок до заданных размеров, т.е. найти корень с заданной точностью.

При пользовании большинством методов решения уравнений предполагается, что первые две процедуры выполнены, т.е. известен участок изолированости корня. Графически корень нелинейного уравнения изображается точкой пересечения графика функции f(x) и оси OX (рис.1)

Рис. 1

Условием существования корня уравнения (1) на промежутке [a,b] значений аргумента x для непрерывной функции f(x) является неравенство:

(2)

Геометрически оно обозначает, что функция f(x) на концах промежутка [a,b] имеет значения разных знаков. Если f(x) на промежутке [a,b] не только непрерывна, но еще и монотонна (то есть ее производная не изменяет знака), то тогда, при выполнении условия (2) на [a,b] содержится только один корень уравнения (1).

1.2. Метод проб.

Метод проб является одним из простейших численных методов поиска корней. Суть его состоит в том, что некоторый заданный отрезок значений аргумента разбивается на небольшое число подотрезков и для каждого из них проверяется выполнение условия (2). Тот из подотрезков, для которого (2) выполняется, содержит корень, поэтому его разбивают на более мелкие подотрезки и процедура повторяется до тех пор, пока не будет найден подотрезок достаточно малой длины, содержащий корень.

В качестве расширения метода можно предложить схему, в которой после нахождения корня аналогично производится проверка оставшейся част интервала [a,b]. Такая модификация метода хороша тем, что позволяет найти все корни на заданном промежутке.

1.3. Метод половинного деления.

Для применения этого метода необходимо, чтобы функция на отрезке [a,b] содержала только один корень. При нахождении этого корня отрезок [a,b] делится пополам, т.е. выбирается начальное приближение x=(a+b)/2, затем выбирается тот из отрезков [a,x] или [x,b], на концах которого функция f(x) имеет противоположенные знаки. Новый отрезок снова делится пополам и так далее до тех пор, пока длина отрезка, на концах которого функция имеет противоположенные знаки, не будет меньше заданного числа e. Блок-схема метода приведена на рис. 2.

Рис. 2. Блок-схема алгоритма метода половинного деления.

1.4. Метод Ньютона.

Метод Ньютона (метод касательных) состоит в том, что приближенным значением корня считается точка пересечения касательной к кривой f(x) и оси OX (рис. 3).

Рис. 3

Для применения метода необходимо:

а) чтобы на отрезке [a,b] производная f'(x) была всюду отлична от нуля;

б) чтобы функция f(x) была на [a,b] монотонна (производная сохраняла знак);

в) в качестве начального приближения следует выбирать такую точку , для которой выполняется условие f(x)*f''(x)>0 (т.е. точку, в которой кривизна и функция имеют одинаковые знаки).

Рабочая формула метода

(3)

позволяет найти последовательность , сходящуюся к точному значению корня x уравнения (1). Критерием окончания вычислительного процесса является выполнение условия:

Алгоритм метода.

1. Выбрать , принадлежащее промежутку [a,b], положить

2. Вычислить

3. Если , то корень , вычисления окончены.

4. Иначе положить и вернуться к шагу 2.

1.5. Метод итерации.

Метод итерации (последовательных приближений) предполагает, что уравнение (1) f(x)=0 преобразовано к виду:

(4)

Последовательные приближения корня даются рабочей формулой:

(5)

Последовательность сходится к точному значению корня x, если для выполнено условие (условие сходимости метода):

(6)

Алгоритм метода.

1. Выбрать начальное приближение .

2. Вычислить .

3. Если , где e - заданная точность, то и вычисления окончены.

4. Иначе положить и перейти к шагу 2.

Вопрос о преобразовании уравнения (1) к виду (4) решается в каждом отдельном случае по своему. В общем случае можно рекомендовать некоторый универсальный, но довольно громоздкий прием. Если ищется корень уравнения f(x)=0 на отрезке [a,b], то необходимо найти число , равное значению точной верхней границы модуля производной функции f(x) на отрезке [a,b]. Тогда можно выбрать в виде:

(7)

при этом условие сходимости (6) выполняется автоматически.

Для всех заданий . Варианты заданий приведены в таблице 1.

Таблица 1. Варианты заданий к лабораторной работе № 1.

N вар.	Уравнение	Отрезок, содержащий корень	Метод численного решения
1		[2;3]	итераций
2		[0;2]	Ньютона
3		[0,4;1]	половинного деления
4		[0;0,85]	итерация
5		[1;2]	Ньютона
6		[0;0,8]	половинного деления
7		[0;1]	итераций
8		[2;4]	Ньютона

Продолжение таблицы 1.

9		[1;2]	половинного деления
10		[0;1]	итераций
11		[0;1]	Ньютона
12		[1;3]	половинного деления
13		[1,2;2]	итераций
14		[3;4]	Ньютона
15		[1;2]	половинного деления
16		[0;1,5]	итераций
17		[1;3]	Ньютона
18		[0;1]	половинного деления
19		[0,5;1]	итераций
20		[1;3]	Ньютона
21		[0;1]	половинного деления
22		[2;3]	итераций
23		[0,4;1]	Ньютона
24		[-1;0]	половинного деления
25		[2;3]	итераций
26		[0,2;1]	Ньютона
27		[1;2]	половинного деления
28		[1;2]	итераций
29		[0;1]	Ньютона
30		[2;3]	половинного деления

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2.

Отделение и уточнение корней нелинейных уравнений.

Данная работа аналогична работе № 1 с той разницей, что здесь задан ориентировочный участок функции, где могу быть один или несколько корней. Поэтому необходимо сначала отделить и определить достаточно малый участок, где есть корень, методом проб, а затем уточнить значение корня быстросходящимся методом. Так как корней на заданном участке может быть несколько, то после уточнения корня необходимо проверять наличие корней и далее до конца участка

При выполнении задания для метода проб отрезок делить на 20 частей. Из-за сложности анализа функций на сходимость для уточнения корней использовать метод половинного деления с заданной точностью

Блок-схема алгоритма приведена на рис. 4.

Варианты заданий в таблице 2.

Рис. 4. Блок-схема алгоритма отделения и уточнения корней уравнения.

Таблица 2. Варианты заданий к лабораторной работе №2.

№ вар.	Уравнение	Отрезок	e
1		[1;5]
2		[0,5;26]
3		[-5;3]
4		[1;3]
5		[-2;1]
6		[0;3]
7		[2;5]
8		[-5;1]
9		[3;10]
10		[0;10]
11		[2;10]
12		[-2;3]
13		[-5;5]
14		[-3;7]
15		[0;2]
16		[2;10]
17		[2;5]
18		[-5;5]
19		[2;8]
20		[-5;-0,1]
21		[-5;5]
22		[0;10]
23		[0,1;5]
24		[2;10]
25		[1;18]
26		[0,1;0,7]
27		[5;10]
28		[-5;5]
29		[-2;2]
30		[-5;5]

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3.

Интерполяция сеточных функций полиномами.

Простейшая задача интерполирования заключается в следующем. На отрезке [a,b] заданы n+1 точки , которые называются узлами интерполяции, и значения некоторой функции f(x) в этих точках:

Требуется построить функцию f(x) (интерполирующая функция), принадлежащую известному классу и принимающую в узлах интерполяции те же значения, что и f(x). При использовании интерполяционной формулы Лагранжа функция f(x) является полиномом степени не выше n, который выражается следующей формулой:

или

(8)

Таким образом для решения данной задачи необходимо организовать тройной циклический процесс, два цикла которого предназначены для вычисления одной точки полинома .

Пример

Вывести в виде таблицы функцию F(x) для x=0(0,1)2, если известны значения функции

в узлах ;

используя интерполяционную формулу Лагранжа.

Блок-схема алгоритма для данного примера приведена на рис. 5.

Рис. 5. Блок-схема алгоритма интерполирования функции.

Таблица 3. Варианты заданий к лабораторной работе № 3.

№ вар		Значения i --------------------------------------------------------------------------- 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7									Отрезок интерполирования | | шаг
1		1,3 0,3	1,5 2,2	2,4 6,4	3,8 5,9	5 1	6,8 -0,2	7,1 -1,3	9,2 0	0	10	0,5
2		1,9 2,4	2,7 5	2,9 6,9	3,1 4,7	3,4 2,5	3,8 -3,9	4,6 -1,4	5,2 0,62	1	5	0,2
3		1,7 5,7	6 6,4	7,4 6,5	10,5 4,2	12,8 2,1	15 5	16,1 9,8	19,8 16,6	2	20	1
4		0,06 0,64	0,15 0,74	0,22 -2,8	0,28 7,2	0,48 0,56	0,53 -4,8	0,7 0,42	0,82 3,9	0	1	0,05
5		1,1 2,1	1,95 2,8	2 -4,4	2,11 3,6	2,12 -8,7	2,43 7,2	2,9 7,6	3 3,4	1	3	0,1
6		8,33 4,2	8,44 7,1	8,7 5,4	9,01 4	9,55 6,7	9,66 7,3	9,9 8,6	10,2 9,2	8	10	0,1
7		0,28 6,9	0,63 6,7	0,75 1,3	1 7,3	1,11 9,4	1,37 7,6	1,72 4,2	1,9 1,9	0	2	0,1

Продолжение таблицы 3.

8		0,99 1,4	1,13 1,7	1,25 2,9	1,39 1,3	1,5 -1,6	1,62 -3,3	1,78 -9,6	1,88 -2	1	2	0,05
9		2,3 5,85	2,8 9	4,1 7,2	4,5 4,3	5,2 -0,1	5,9 -2,9	7 -1,8	7,9 0,1	3	7	0,2
10		0,87 1,6	0,92 7,3	0,94 3,1	0,96 1,7	0,99 0,2	1 -0,1	1,07 -26	1,3 0,5	0	1	0,05
11		0 9,4	0,25 7,7	0,35 4	0,5 2,5	0,75 0,8	0,95 3,3	1,2 7,6	1,5 5,1	0	2	0,1
12		-1 2,4	0 2,9	0,7 7	1,2 0,3	1,9 -7,2	4 -8,3	4,3 -9	4,9 3,2	0	5	0,5
13		0,5 9,9	1,2 7,3	1,9 -3,2	2,2 -6,5	3,1 -1,7	3,4 0,95	3,9 3	4,1 5,4	3	5	0,1
14		1,3 5,4	1,9 7,4	2,8 -0,7	3,7 -6,4	4,2 7,6	5,1 4	5,8 0,3	6,9 -0,4	2	6	0,2
15		0,3 7,2	0,9 5,8	1,1 4,4	1,8 0,2	2,1 5	2,7 7,4	3 -4,2	3,9 -8,7	1	2	0,05
16		0,1 -3,2	1,1 -2	1,8 -7,3	2,2 -3,2	2,9 1,3	3,2 9,8	4,5 4,2	5 7,3	0	2	0,1
17		1,2 6,5	1,8 -3,1	2,9 0,1	3,1 1,7	3,6 -4,1	4 0,2	5,5 8,7	7 7,3	3	4	0,05
18		0,5 5,3	1,3 9,8	2 3,7	2,6 3,9	2,9 8,6	4,2 3,3	5 3,5	6,6 8,5	0	20	1
19		-1,3 5,7	-0,8 5,1	0,2 6,7	0,5 9	0,7 9,6	1 3,7	1,3 -5,8	2 -6,4	0	5	0,5
20		3,2 4,4	4,3 8,5	5 -0,7	6,7 -6,8	7,9 -7,6	8,2 -3,3	9,1 6,5	10 8,5	9	10	0,05
21		1,6 2	1,31 8,4	1,34 0,3	1,43 3,5	1,51 0,87	1,69 3,1	1,82 9,8	2 5	0	2	0,1
22		1 9	1,4 4,1	1,8 -5,4	1,9 -6,2	2,9 8,5	3,1 -1	3,4 -6,8	3,6 7,7	3	5	0,1
23		23 99	28 55	32 1	40 25	43 -43	52 10	57 21	60 44	0	100	5
24		0,9 2,1	0,98 77	1 37	1,12 6,6	1,25 -19	1,29 -67	1,35 4,6	1,4 15	1	2	0,05

Продолжение таблицы 3.

25		5 46	6 96	7 33	11 72	12 51	15 73	18 24	25 0	5	25	1
26		0 6,5	1,3 5	1,9 -72	3 23	4,5 98	6,3 2	8 64	11 7	-10	10	1
27		-1,2 1,2	-0,9 -9,6	-0,4 7,2	-0,1 5,4	0 5,8	0,5 4	1 -6,7	6 -5,9	-2	0	0,2
28		1 50	3 74	18 2	23 9	30 41	31 37	32 -54	33 18	2	50	2
29		1,8 4,6	2,6 5,4	6,6 0,2	7,1 -5,8	9,5 -4	10,3 -7,3	12 0,3	15 9,8	2	12	0,5
30		-1 0,5	-0,5 0,4	-0,4 -0,2	-0,2 0,64	0,5 0,72	1 0,95	2,3 0,29	3 0,73	-0,5	0,5	0,05

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4.

Вычисление определенных интегралов с заданным шагом интегрирования.

Численные методы нахождения значения определенного интеграла.

Численные методы нахождения значений определенного интеграла используются в тех случаях, когда неизвестна первообразная для функции f(x) или ее вычисление сопряжено с трудностями. Большинство методов основано на замене подынтегральной функции аппроксимирующей функцией более простого вида и последующем интегрировании этой более простой функции.

1. Метод прямоугольников.

Этот метод основан на аппроксимации кусочно-постоянными функциями.

Рабочая формула метода:

(9)

Здесь n-число отрезков разбиения.

В случае если:

D=0 - получаем рабочую формулу левых прямоугольников;

D=h/2 - формулу центральных прямоугольников;

D=h - формулу правых прямоугольников.

2. Метод трапеций.

В этом случае аппроксимация производится кусочно-линейной функцией. Рабочая формула метода:

(10)

n - число отрезков разбиения.

2. Метод Симпсона.

В этом случае подынтегральная функция аппроксимируется отрезками парабол.

Рабочая формула метода:

(11)

n - число отрезков разбиения (четное)

Формулу можно привести к виду

(12)

Пример.

Вычислить интеграл методом Симпсона, отрезок интегрирования разбить на 20 частей. Блок-схема алгоритма примера приведена на рис. 6.

Рис. 6. Блок-схема вычисления интеграла методом Симпсона.

Таблица 4. Варианты задания к лабораторной работе № 4.

№ варианта	Интеграл	Количество частей разбиения	Метод
1		30	Симпсона
2		54	трапеций
3		36	Симпсона
4		52	трапеций
5		104	Симпсона
6		48	трапеций
7		48	Симпсона
8		204	трапеций
9		44	Симпсона
10		48	трапеций
11		36	Симпсона
12		40	трапеций
13		44	Симпсона
14		160	трапеций
15		240	Симпсона
16		22	трапеций
17		48	Симпсона
18		22	трапеций

Продолжение таблицы 4.

19		96	Симпсона
20		60	трапеций
21		52	Симпсона
22		176	трапеций
23		36	Симпсона
24		52	трапеций
25		132	Симпсона
26		40	трапеций
27		78	Симпсона
28		40	трапеций
29		72	Симпсона
30		36	трапеций

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5.

Вычисление определенных интегралов с заданной точностью.

Обычно при вычислении интегралов заранее известна точность, с которой необходимо произвести расчет. Количество же участков разбиения зависит от свойств подынтегральной функции и выбирается намного больше, чем это необходимо для обеспечения заданной точности.

Чтобы не делать лишних вычислений (а с ростом вычислений увеличивается и аппаратная ошибка, связанная с конечной длиной числа, представленного в ЭВМ), используют алгоритм с удвоением отрезков разбиения и сравнением интегралов, вычисленных с n отрезками разбиения и 2n.

Алгоритм метода.

1. Вычисление интеграла с двумя отрезками разбиения.

2. Увеличение отрезков разбиения в 2 раза.

3. Вычисление интеграла с новым количеством отрезков.

4. Сравнение предыдущего и вычисленного значения интеграла. Если разность значений больше заданной точности, то перейти на шаг 2, иначе конец алгоритма.

Если вычисление интеграла (шаг 3) производить по алгоритму, приведенному в работе № 4, то вычисление одних и тех же значений функции будет проводиться многократно, что не рационально. Желательно при вычислении интеграла с новым количеством отрезков использовать результаты предыдущих вычислений. Это достигается следующим образом.

Рис. 7. Вычисление интеграла с двукратным увеличением количества отрезков разбиения.

На рис. 7. представлена схема вычисления интеграла по приведенному выше алгоритму. Очевидно, что значения и постоянны для интеграла с любым количеством отрезков разбиения, поэтому их можно вычислить один раз в начале программы. Значения промежуточных результатов ( для двух отрезков разбиения) будут использоваться как четные слагаемые для следующего значения интеграла ( для четырех отрезков разбиения). Таким образом, остается вычислить только сумму для нечетных значений функции.

Пример.

Найти значение интеграла методом Симпсона с точностью . Блок-схема алгоритма для данного примера приведена на рис.8.

Рис. 8. Блок-схема алгоритма вычисления интеграла с заданной точностью.

Варианты заданий приведены в табл.4, точность вычислений .

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6.

Шаговые методы интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка.

Дано дифференциальное уравнение первого порядка с начальным условием . Необходимо вычислить сеточное представление частного решения y=y(x), удовлетворяющее дифференциальному уравнению и начальному условию.

Численные методы решения задачи Коши делятся на шаговые и разностные. К шаговым относятся методы Эйлера, Рунге-Кута, Гилла. К разностным - Адамса, Милна, Штермера, Гаусса и другие.

Метод Адамса рассматривается в работе №7.

1. Метод Эйлера.

Решение Задачи в конечном итоге сводится к интегрированию обыкновенного дифференциального уравнения

(13)

с начальным условием

(14)

Если принять (метод левых прямоугольников), то

(15)

- рабочая формула метода Эйлера.

Алгоритм метода.

1. Задаем h, начальные значения

2. Вычисляем

3. Изменяем i и x.

4. Если найдены все точки, то конец, иначе перейти к шагу 2.

2. Метод Эйлера-Коши.

При интегрировании дифференциального уравнения (13) по формуле трапеций, получаем уравнение

(16)

Выражение из правой части находится по методу Эйлера (15).

Таким образом, рабочие формулы метода Эйлера-Коши имеют вид:

(17)

Алгоритм метода Эйлера-Коши аналогичен алгоритму метода Эйлера.

3. Модифицированный метод Эйлера.

В данном методе при интегрировании уравнения (13) применятся формула центральных прямоугольников:

(18)

Неизвестная находится также по методу Эйлера (15). Рабочие формулы модифицированного метода Эйлера:

(19)

Алгоритм аналогичен алгоритму метода Эйлера.

4. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка.

Из широкого класса методов типа Рунге-Кутта наиболее широко используется метод Рунге-Кутта четвертого порядка.

При разложении в ряд Тейлора в окрестности точки до четвертого порядка малости получаем

Решение ищется в виде

где

Итоговая рабочая формула:

(20)

Алгоритм аналогичен методу Эйлера. Варианты заданий приведены в таблице 5.

Задания 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28 выполняются методом Рунге-Кутта.

Задания 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29 выполнять модифицированным методом Эйлера.

Задания 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 выполнять методом Эйлера-Коши.

Таблица 5. Варианты заданий к лабораторной работе №6.

№ вар.	Дифференциальное уравнение	Начальные условия	Отрезок интегрирования	Шаг интегрирования
1		y(0)=1	[0;0,5]	0,05
2		y(0)=1	[0;0,5]	0,025
3		y(0)=1	[0;0,5]	0,025
4		y(0)=0	[0;0,2]	0,02
5		y(0)=0,5	[0;1]	0,05
6		y(0)=1,8	[0;2]	0,1
7		y(0)=2,2	[0;0,2]	0,01
8		y(0)=0,8	[0;1]	0,05
9		y(0)=1,433	[0;0,5]	0,025
10		y(0)=1	[0;1]	0,1
11		y(0)=-0,9	[0;1]	0,1
12		y(0)=1/9	[0;1]	0,05
13		y(0)=5/6	[1;2]	0,05
14		y(0)=1,48	[0;0,5]	0,02
15		y(0)=0	[0;0,2]	0,01
16		y(0)=5,1	[0;1]	0,05
17		y(0)=2,5	[0;1]	0,05
18		y(1)=4	[1;1,5]	0,05
19		y(1)=5	[1;1,5]	0,05
20		y(0)=1	[0;0,5]	0,02
21		y(0)=2,6	[0;1]	0,05
22		y(1)=2	[1;2]	0,1
23		y(1)=1,38	[1;2]	0,1
24		y(1)=1,433	[1;2]	0,05
25		y(0)=11/9	[0;1]	0,05
26		y(0)=1,95	[0;0,5]	0,02
27		y(0)=-4	[0;1]	0,1
28		y(0)=-1/4	[0;0,5]	0,025
29		y(0)=1	[0;1]	0,1
30		y(0)=1	[0;1]	0,05

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №7.

Интегрирование дифференциального уравнения разностным методом Адамса.

Введем сетку значений аргумента , где h=const - шаг сетки, i=0,1,2,.... Сеточное представление частного решения . Для его определения существуют шаговые методы, в которых очередное сеточное значение определяется по данному:

и разностные методы, в которых очередное сеточное значение определяется по нескольким предыдущим

Формула разностного метода Адамса может быть получена, если проинтегрировать исходное дифференциальное уравнение на отрезке и подынтегральную функцию в правой части уравнения заменить интерполяционным полиномом Ньютона для интерполирования в конце таблицы.

(21)

Ограничиваясь полиномом третьего порядка и проведя интегрирование полинома, получим рабочую формулу, в которой значение конечных разностей заменены их выражениями через значения в узлах сетки

(22)

При использовании разностного метода Адамса проблемой является получение первых, так называемых "стартовых" точек, в нашем примере это . Они могут быть получены с помощью шаговых методов точности не ниже третьего порядка, например методом Рунге-Кутта четвертого порядка.

Алгоритм метода.

1. Определяем стартовые точки . Присваиваем значения

.

2. Вычисляем .

3. Вычисляем новые значения сеточной функции

4. Если , то конец вычислений, в противном случае перейти к шагу 5.

5. Переприсваиваем

.

6. Перейти к шагу 3.

Варианты заданий приведены в таблице 5.

ЛАБОРАТОНАЯ РАБОТА № 8.

Решение систем линейных алгебраических уравнений.

Системой линейных алгебраических уравнений n-го порядка называется система

(23)

Решением этой системы является значение неизвестных . Коэффициенты матрицы и правые части предполагаются заданными. Условием существования и единственности системы (23) является неравенство нулю определителя матрицы

В дальнейшем предполагается, что это условие всегда выполнено.

1. Метод Гаусса (схема единственного деления).

Идея метода Гаусса основана на последовательном исключении неизвестных и преобразовании системы (23) к специфическому виду (24) системы с треугольной матрицей (прямой метод хода).

(24)

После этого осуществляется последовательное определение неизвестных (обратный ход метода).

Метод Гаусса относится к группе так называемых "точных" методов, теоретически он позволяет с помощью конечного числа действий вычислить точный результат. Однако при практических расчетах возникают вычислительные погрешности, которые искажают результат тем сильнее, чем выше порядок системы. Условием сходимости метода является отличие от нуля определителя матрицы системы. При программировании метода и отладке программы целесообразно по окончании прямого хода вывести для контроля на печать треугольную матрицу. В готовой программе этот оператор печати может быть удален.

Алгоритм метода.

1. Положить s=1

2. Для j=s+1,s+2,...,n положить

3. Положить

4. Положить i= s+1

5. Для j=s+1,s+2,...,n положить

6. Положить

7. Если , перейти к шагу 5.

8. Положить s=s+1; если . перейти к шагу 2, в противном случае к шагу 9.

9. Вычислить

10. Положить s=s-1

11. Вычислить

12. Если , перейти к шагу 10.

2. Метод простой итерации.

Идея метода состоит в том, чтобы, задавшись некоторыми значениями неизвестных (начальным приближением), с помощью вычислительной процедуры получить "уточненные" значения неизвестных . Это уточнение продолжается до тех пор, пока значения не будут вычислены с заданной точностью. Для применения метода система (23) должна быть преобразована к виду:

(24)

Рабочая формула метода -

(25)

.

Условие сходимости метода , где -норма матрицы . Критерий окончания вычислительного процесса , где e - заданная точность вычислений.

Методы простой итерации относятся к группе "приближенных" методов. Это значит, что они дают за конечное число действий лишь приближенный результат, однако этот результат может удовлетворять пользователя своей точностью. Критерием сходимости методов является условие . Под нормой матрицы можно понимать любое из следующих чисел:

При программировании метода полезно организовать выдачу на печать всех последовательных приближений; задавая значения коэффициентов , необходимо убедиться в выполнении условия сходимости. В качестве начального приближения, если нет иных соображений, можно выбрать нулевые значения или значения правых частей .

Алгоритм метода.

1. Зададимся значениями .

2. Для i=1,2,...,n вычислим значения .

3. Найти величину d - наибольшую из разностей для i=1,2,...,n.

4. Если d <e ,то - искомые значения и вычисления можно окончить.

5. Для i=1,2,...,n присвоить значение .

6. Перейти к шагу 2.

Таблица 6. Варианты заданий к лабораторной работе №8.

№ вар.	Матрица коэффициентов при при при при				Свободные члены
1	3 8 -1 -7	5 0,2 4 -5	3 -3,3 2 0	4 4 3,5 4,5	-3 -4 1,1 9
2	-9 5,5 3 -5	0 4,2 6 -8	0,2 -2 2,1 2,2	5 -8 -1,8 7,5	-1 -4,4 3 8,8
3	33 -21 13 13	10 5 31 17	-10 88 -18 51	55 -15 52 22	-12 29 66 -19
4	3,1 3,4 3,6 3	5,1 4,7 5,7 4,4	2,2 2,4 2,3 2,1	5,7 5,5 6,7 6	-3 -4 -4 5
5	2,8 2,1 3,3 9,3	2,3 5,2 -6,3 -3,9	4 4,5 -2,1 -2,8	4,4 5,5 2 3,7	-5 -6,2 2,9 4,7

Продолжение таблицы 6.

6	1,1 2,2 4 3,8	1,3 -1,4 9,8 -11	3,2 5,5 5,4 8,8	0,8 0 3,4 4,5	2 3,3 2,7 6,3
7	5,8 4,7 7,2 9,2	4,8 4,9 6,4 8,2	4,7 6,6 3,5 8,8	5,3 -2,2 5,4 1,9	-9,1 -8,1 -3,4 -5,1
8	2,8 3,1 4,8 -1,9	-3,2 5,7 6,1 3,4	4,3 6,2 6,6 -5,6	6,7 3,5 -9 -4,9	12,8 13,1 11,6 -15,5
9	2,8 7,7 4,8 9	-3,2 2,3 8,1 4,3	0,8 7,1 3 0	-3,1 -4,3 5,2 -0,9	6,3 7,1 -5,9 4,3
10	7,6 8,7 0 5,6	0 12,1 6 8,4	12,3 3,9 7,4 10,2	9,9 8 9,3 6,7	18 12,5 -14,7 11,9
11	9,5 8,8 4 7,3	7,3 8,4 8,8 -8,5	-5,2 8,7 9,9 5,9	2,5 -5,3 3 8,5	5,1 7 3,1 7,8
12	6,4 8,8 1 6	9,7 2,9 2,4 8,5	-7 -9,6 -3 -9,3	3,5 1,6 4,2 7,3	-7 -9,8 -7,1 -2,2
13	4,7 -2,7 6,9 6,4	5 3,7 4,7 -5	9 3 4,4 -2,3	9 -1,9 7,1 1,7	-4,7 -6,7 -5,8 -1,7
14	4,3 4,3 4,7 3,9	6,2 7,5 2 4,7	1,5 3,3 8,3 6	6,3 5,4 8,6 7,1	8,1 5,4 3,7 7,5
15	13 80 62 59	91 89 14 39	21 54 18 36	96 91 63 88	4 84 82 16
16	15 59 67 84	81 12 97 47	73 63 23 78	19 77 59 35	62 -8,9 96 -38
17	6,9 -4,1 6,3 9,6	8,3 6,4 0,9 9,5	3,7 6,5 2,1 8,8	-5,5 1,9 2,2 2,1	-8,1 -3,9 1,4 8,9

Продолжение таблицы 6.

18	6 9 3 4	7 8 -5 -8	-5 0 7 1	4 -8 8 1	-8 2 3 2
19	3 2 -2 3	-7 7 5 -8	-3 8 9 2	5 -1 -2 1	4 -3 8 5
20	1,5 2,3 4,4 1,8	3,9 -3 5 0,2	0,8 4,1 -0,9 6,2	9 -8,2 7,6 -3	-0,3 1,5 9 0,1
21	1,3 4 3,6 6,2	1,9 3,9 7,3 0,9	7,3 8,7 1,3 7,3	4,6 3,7 6,5 4,3	9,8 1,9 0,7 6,5
22	4,3 4 0,9 3,9	6,5 7,6 7,3 8,5	0,3 5,4 7,6 0,3	6,2 0,7 9,8 6,8	0,8 2,5 3,3 7,5
23	0,9 5,4 8,8 3,9	9,8 1 4,1 2	7,7 5,8 6,7 6,7	4 4,4 2 4,7	0,9 0,3 9,6 2,9
24	50 7 67 9	29 61 80 67	70 76 63 43	83 99 7 63	64 20 28 7
25	28 7 75 86	9 28 98 40	70 43 76 35	43 3 37 87	64 54 65 33
26	2 67 63 35	85 61 32 29	72 96 94 73	90 37 84 16	64 54 65 33
27	3,9 7,1 9,6 1,7	8,5 3,4 7,1 4	0,3 9,7 3,9 7,3	2 6,7 3,1 8,7	8,3 6,2 0 3,1
28	5 2,5 0 7,5	9,8 1,7 2 1	3,7 0,1 7,4 3,2	3,9 7,8 0,3 1	8,6 4,1 3,1 7
29	3,9 0,7 6,5 4,1	5,3 3,2 0,3 7,3	0,3 0,9 2,8 5,4	2,4 7,3 7,5 3,1	7,5 4,3 6,5 7

Продолжение таблицы 6.

30

9,5 7 6,3 4,2

0,9 8,4 0 8,8

7,3 3 2,8 4

1 6,7 0,7 3,2

3,1 5 4,3 0,2